Dirigência ou diligência - qual a forma correta?

 A forma correta de escrita da palavra é diligência, com l na segunda sílaba: di-li-gên-ci-a. A palavra dirigência, com r, na segunda sílaba, não existe.

O substantivo feminino diligência indica principalmente cuidado, aplicação, zelo, rapidez e prontidão na realização de algo, uma medida a ser tomada, uma investigação cuidadosa ou uma carruagem. Pode indicar também uma ação judicial fora do cartório, bem como um trabalho policial ou militar fora do quartel.
Exemplos com diligência

    Procuro uma enfermeira que cuide de minha avó com muito carinho e diligência.
    Ganhou um prêmio de produtividade pois trabalhava com uma diligência inigualável.
    Já foram tomadas as diligências abaixo descritas.
    Este caso será averiguado através de uma diligência policial.

Diligência é sinônimo de cuidado, aplicação, zelo, desvelo, esmero, dedicação, atenção, esforço, rapidez, prontidão, presteza, urgência, solicitude, pressa, providência, medida, resolução, investigação, averiguação, busca, pesquisa, sindicância, inquérito, procura e carruagem.
Origem da palavra diligência

O substantivo feminino diligência tem dois étimos distintos, ambos escritos com l na segunda sílaba, originando a forma de escrita atual da palavra.

Com sentido de transporte puxado a cavalos, sinônimo de carruagem, tem sua origem na palavra em francês diligence, abreviação de voiture de diligence. 

Com os restantes sentidos (zelo, prontidão, providência e investigação) tem sua origem na palavra em latim diligentia.

As palavras diligenciar e diligenciador, cognatas de diligência, também são escritas com l na segunda sílaba.

Embora não exista a palavra dirigência, existe a palavra dirigente, que indica aquele que dirige e coordena uma equipe, aquele que governa, administra e chefia, e um maestro.