Influencia ou influência - qual a diferença?

As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas.

Influência, com acento circunflexo, é um substantivo feminino:

    influência positiva;
    influência negativa;
    influência da lua;
    influência digital.

Influencia, sem acentuação gráfica, é uma forma do verbo influenciar:

    ele influencia;
    ela influencia;
    você influencia.

A pronúncia das duas palavras é diferente.
Em influência, a sílaba tônica é a sílaba ên (in-flu-ÊN-ci-a), sendo uma palavra proparoxítona.
Em influencia, a sílaba tônica é a sílaba ci (in-flu-en-CI-a), sendo uma palavra paroxítona.

Segundo alguns gramáticos, a palavra influência é uma palavra paroxítona, terminada em ditongo crescente. Contudo, essa classificação não é consensual. De acordo com as regras do atual acordo ortográfico, as palavras paroxítonas terminadas em ditongo crescente foram categorizadas como palavras proparoxítonas, sendo terminadas em hiato.
Influência: substantivo feminino

Para referir o poder que uma pessoa pode exercer sobre outra, tendo a capacidade de agir sobre outra, devemos utilizar o substantivo feminino influência. Esta palavra significa poder, ação, autoridade, predomínio, crédito, prestígio, ou um efeito modificador produzido por agentes físicos ou da natureza sobre as coisas e os seres humanos. Em algumas regiões do Brasil, a palavra é usada como sinônimo de animação, empolgação.
Exemplos com influência

    A influência da chuva nas plantações é importante.
    A palestra de hoje foi sobre a influência do aumento na economia.
    Minha irmã aprendeu a cantar com muita influência.

Influencia: verbo influenciar

Influencia é a forma do verbo influenciar conjugado na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo (ele influencia) ou na 2ª pessoa do singular do imperativo afirmativo (influencia tu). O verbo influenciar se refere ao ato de exercer influência, agindo sobre uma pessoa.

Verbo influenciar - Presente do indicativo:
(eu) influencio
(tu) influencias
(ele) influencia
(nós) influenciamos
(vós) influenciais
(eles) influenciam

Verbo influenciar - Imperativo afirmativo (negativo):
--- (eu)
influencia / influencies (tu)
influencie (você)
influenciemos (nós)
influenciai / influencieis (vós)
influenciem (vocês)
Exemplos com influencia

    O caráter influencia o comportamento.
    O escândalo influenciou o resultado das eleições.
    Sê um bom exemplo! Influencia positivamente!