Esquentar ou aquecer?

As duas palavras existem na língua portuguesa. São palavras sinônimas e ambas estão corretas. Contudo, a palavra esquentar é a mais utilizada no português do Brasil enquanto a palavra aquecer é a mais utilizada no português de Portugal. Estes dois verbos se referem ao ato de tornar alguém ou alguma coisa quente.

A palavra aquecer tem sua origem na palavra em latim calescere e, além de se referir ao ato de tornar alguém ou alguma coisa quente, pode ser usado também com sentido de dar conforto, tornar exaltado e irritado, tornar animado e ficar preparado fisicamente. É sinônima também de confortar, encantar, estimular, excitar, consolar, aliviar, acirrar, exaltar. Em economia, é usada como sinônimo de aumentar as vendas. Também significa pintar com cores vivas.

A palavra esquentar tem sua origem na palavra em latim excalentare e, além de se referir ao ato de tornar alguém ou alguma coisa quente, pode ser usado como sinônimo de pôr ou cobrir com agasalho, tornar mais alegre e tornar preocupado ou nervoso.

Exemplos:
O pai está esquentando o leite.
O pai está aquecendo o leite.

Aos poucos, a discussão foi aquecendo.
Aos poucos, a discussão foi esquentando.